Geometría plana

Los ejercicios tienen hasta 5 Niveles que se corresponden con los distintos niveles en la ESO y Bachillerato (se trata de una relación aproximada que puede variar en función de las características propias de cada grupo o alumno)

N1= a partir de 1º ESO

N2= a partir de 2ºESO

N3= a partir de 3º y 4ºESO

N4=  a partir de 1º Bachillerato

N5=  a partir de 2º Bachillerato 

TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO

*Concepto de lugar geométrico: se trata de la posición de un elemento geométrico en el plano o el espacio. Podemos definir lugar geométrico como  un conjunto de puntos que cumplen con una condición geométrica. Por ejemplo: una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro.

 Lugares geométricos

  1. Mediatriz N1
  2. Circunferencia que pasa por tres puntos. N2
  3. Recta perpendicular a otra por un punto exterior. N1
  4. Bisectriz. N1
  5. Arco capaz. N3

Operaciones con segmentos

  1. Mediatriz de un segmento. N1
  2. Construcción de un segmento igual a otro. N1
  3. Suma de segmentos. N1
  4. Resta de segmentos. N1
  5. División de un segmento en partes iguales. N1

Operaciones con ángulos, circunferencias y arcos de circunferencia

  1. Bisectriz de un ángulo. N1
  2. Construcción de un ángulo igual a otro. N1
  3. Suma de ángulos. N1
  4. Resta de ángulos. N1
  5. Construcción de un ángulo de 105º. N2
  6. Rectificación de una circunferencia. N3
  7. Rectificación de una semicircunferencia. N3
  8. Rectificación de un arco de 90º. N3
  9. Rectificación de un arco menor de 90º. N3
  10. Arco capaz. N3

Proporcionalidad

La proporción puede definirse como la igualdad entre dos razones. El resultado sería la razón de semejanza k. Por ejemplo, si a, b, c y d son las magnitudes de segmentos, tendríamos la siguiente relación proporcional: a/b=c/d =k

Los principios de la proporcionalidad se basan en el teorema de Thales que nos dice: “Los segmentos que determinan un haz de rectas paralelas al ser cortadas por dos rectas transversales son directamente proporcionales, y viceversa”. Algunas de las aplicaciones de este teorema son:

  1. División de un segmento en partes proporcionales. N2
  2. Cuarta proporcional de tres segmentos. N3
  3. Tercera proporcional de dos segmentos. N3
  4. Media proporcional entre dos segmentos. N3
  5. Sección áurea de un segmento . N4
  6. Segmento a partir de su sección áurea. N4
  7. Sección áurea y pentágono regular.N4
  8. Pentalfa y sucesivos inscritos. Proporción áurea
  9. Sección áurea y rectángulo áureo. N4
  10. Triángulo equivalente a otro con un lado en común. N2
  11. Rectángulo equivalente a un triángulo con un lado en común. N3
  12. Cuadrado equivalente a un rectángulo. N3
  13. Polígono equivalente a otro con un lado menos. N3
  14. Polígono equivalente a otro con un lado más. N3
  15. División de un triángulo en tres partes cuyas áreas sean equivalentes. N3
  16. Construcción de un cuadrado semejante a otro con el doble de área. N4

POLÍGONOS

Triángulos

Puntos y rectas notables del triángulo: Dado un triángulo ABC. 1. Determinar el circuncentro, el incentro, el baricentro y el ortocentro. 2. Trazar las circunferencias circunscrita e inscrita, el triángulo complementario y el triángulo órtico. N4

Triángulos equiláteros:

*Lados y ángulos iguales (60º)
  1. Triángulo equilátero a partir del lado. N1
  2. Triángulo equilátero conocida la altura. N2

Triángulos escalenos:

*Lados y ángulos desiguales.
  1. Triángulo conocidos los tres lados. N1
  2. Triángulo conocidos un lado y dos ángulos.N2
  3. Triángulo conocidos dos lados y el ángulo que forman.N2
  4. Triángulo conocidos un lado, el ángulo opuesto y el ángulo adyacente. N3
  5. Triángulo conocidos dos de sus lados y una mediana. N4
  6. Triángulo conocidos un lado, la mediana y el ángulo correspondiente. N4
  7. Triángulo conocidos un lado, la altura correspondiente y la mediana de otro lado. N4
  8. Triángulo conocidos un lado y dos alturas. N5
  9. Triángulo conocidos un lado y las medianas de los lados adyacentes. N5
  10. Triángulo conocidos un vértice, el baricentro y el circuncentro. N5

Triángulos isósceles:

*2 Lados y ángulos iguales.
  1. Triángulo isósceles conocidos la base y el lado. N1
  2. Triángulo isósceles conocida la base y el radio de la circunferencia circunscrita. N3

Triángulos rectángulos:

*Un ángulo de 90º
  1. Triángulo rectángulo conocidos la hipotenusa y un cateto. N3
  2. Triángulo rectángulo conocido uno de sus catetos y el ángulo opuesto.N4

Cuadriláteros

Paralelogramos:

*Pares de lados opuestos iguales y paralelos: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.
  1. Cuadrado a partir del lado. N1
  2. Cuadrado conocida la diagonal. N1
  3. Rectángulo conocidos la base y el lado. N1
  4. Rectángulo conocida la diagonal. N1
  5. Rombo conocidos el lado y una de sus diagonales. N1
  6. Rombo conocidas sus diagonales. N2
  7. Rombo conocidos la diagonal y el ángulo entre los lados. N3
  8. Rombo conocidos el lado y el radio de la circunferencia inscrita. N5
  9. Romboide conocidos sus lados y el ángulo comprendido entre los lados. N2

Trapecios:

*Dos lados paralelos: trapecio isósceles, trapecio rectángulo y trapecio escaleno.
  1. Trapecio isósceles conocidos dos lados contiguos y la altura. N2
  2. Trapecio isósceles conocidos la base mayor, la altura y la diagonal. N2
  3. Trapecio isósceles conocido un lado no paralelo, la altura y el radio de la circunferencia circunscrita. N4
  4. Trapecio rectángulo conocidos la base, el lado oblicuo y el ángulo comprendido entre ambos. N3
  5. Trapecio rectángulo conocidos un lado, un ángulo y dos condiciones. N4
  6. Trapecio escaleno conocidos sus cuatro lados. N4

Trapezoides:

*Sin lados paralelos: trapezoide simétrico o bisóceles y trapezoide asimétrico.
  1. Trapezoide asimétrico conocidos tres lados y dos ángulos. N4

Polígonos regulares

A partir del radio de la circunferencia circunscrita:

  1. Triángulo equilátero. N1
  2. Hexágono regular. N1
  3. Dodecágono regular. N1
  4. Cuadrado. N1
  5. Octógono regular. N1
  6. Pentágono regular. N1
  7. Decágono regular. N1
  8. Heptágono regular. N1
  9. Polígono regular de n lados mediante el método general aproximado. Ejemplo: eneágono regular. N2

A partir del lado:

  1. Triángulo equilátero. N1
  2. Hexágono regular. N1
  3. Cuadrado. N1
  4. Octógono regular. N1
  5. Pentágono regular. N1
  6. Decágono regular. N1
  7. Heptágono regular. N1
  8. Polígono regular de n lados mediante el método general aproximado. Ejemplo: eneágono regular. N2

Polígonos regulares estrellados:

*Son polígonos cóncavos con forma de estrella. Los polígonos regulares estrellados se construyen a partir de los polígonos regulares. Elementos:
– Género (g): es el número de lados del polígono estrellado. Por ejemplo: en un pentágono estrellado el género es 5.
– Paso (p): es el número de divisiones que abarcamos al unir un vértice con el siguiente en el momento de construir un polígono estrellado. Por ejemplo: en un pentágono estrellado el paso es 2 ( se unen los vértices de 2 en 2)
– Especie: hace referencia al paso. Por ejemplo: el pentágono regular es de 1ª especie porque el paso es 2. 
  1. Pentágono regular estrellado. 1ª Especie.
  2. Pentalfa y sucesivos inscritos. Proporción áurea
  3. Hexágono regular estrellado. Falso. 
  4. Heptágono regular estrellado. 1ª y 2ª Especie.
  5. Octógono regular estrellado.2ª Especie y falso.
  6. Eneágono regular estrellado. 1ª y 3ª especie.
  7. Decágono regular estrellado. 2ª Especie y falso.
  8. Endecágono regular estrellado. 1ª y 2ªEspecie
  9. Endecágono regular estrellado.  3ª y 4ª Especie
  10. Dodecágono regular estrellado. 4ª Especie y falso.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Giro, traslación y simetría

  1. Giro de un punto
  2. Giro de una recta
  3. Giro de una figura plana
  4. Giro de un hexágono regular
  5. Determinar el centro y el ángulo de giro dadas la figura y su transformada.
  6. Traza un triángulo equilátero ABC que tenga uno de sus vértices en el punto A y los otros dos sobre las rectas r y s. Resuelve mediante giros
  7. Traslación de una figura.
  8. Traslada el segmento AB hasta situar sus extremos sobre dos circunferencias.
  9. Simetría axial de una figura.
  10. Simetría central de una figura.

Homotecia y semejanza

  1. Homotecia de un triángulo dados el centro O y la razón de homotecia 2/1
  2. Homotecia de un cuadrilátero dados el centro O y la razón de homotecia -3/2
  3. Homotecia de una circunferencia dados el centro O y la razón de homotecia 5/2.
  4. Inscribir un hexágono regular en un triángulo isósceles. N4

Homología y afinidad

  1. Homología espacial
  2. Figura homóloga del triángulo ABC dados el centro de homología O, el eje e y dos puntos homólogos A-A’. Determinar las rectas límite RL y RL’
  3. Figura homóloga del cuadrilátero ABCD dados el centro de homología O, el eje e y la recta límite RL’.
  4. Figura homóloga del triángulo ABC dados el centro de homología O, el eje e y la recta límite RL
  5. Figura homóloga del hexágono regular ABCDEF dados el centro de homología O, el eje e y la recta límite RL’.
  6. Transformación de un cuadrilátero ABCD en un cuadrado por homología.
  7. Transformación de una circunferencia en elipse por homología.
  8. Transformación de una circunferencia en parábola por homología.
  9. Transformación de una circunferencia en hipérbola por homología.
  10. Figura afín del triángulo ABC dados el eje e y dos puntos homólogos A-A’.
  11. Figura afín del cuadrilátero ABCD dados un punto del eje y dos rectas afines.
  12. Transformación de un cuadrilátero en un cuadrado por afinidad.
  13. Transformación de una circunferencia en una elipse por afinidad.

CURVAS TÉCNICAS

ÓVALO

  1. Óvalo óptimo
  2. Óvalo dado el eje mayor
  3. Óvalo dado el eje menor
  4. Óvalo dados los dos ejes
  5. Óvalo dados los dos ejes y el radio del arco menor.
  6. Óvalo isométrico

OVOIDE

  1. Ovoide dado el eje de simetría
  2. Ovoide dado el diámetro
  3. Ovoide dados el eje de simetría y el diámetro

ESPIRAL

  1. Espiral de Arquímedes
  2. Espiral áurea
  3. Espiral logarítmica

VOLUTA

  1. Voluta de dos centros
  2. Voluta de tres centros

CURVAS ALABEADAS

  1. Hélice cilíndrica
  2. Hélice cónica

CURVAS CÓNICAS

ELIPSE 

  1. Construcción de la elipse conocidos los ejes. Método: por puntos.
  2. Construcción de la elipse conocidos los ejes. Método: por afinidad.
  3. Construcción de la elipse conocidos los ejes conjugados. Métodos: por haces proyectivos.
  4. Determinación de los ejes principales de una elipse conociendo dos diámetros conjugados.
  5. Recta tangente a una elipse en un punto de la curva.
  6. Rectas tangentes a una elipse por un punto exterior.
  7. Rectas tangentes a una elipse paralelas a una dirección.

PARÁBOLA

  1. Construcción de la parábola. Método: por puntos.
  2. Construcción de la parábola conocido un punto de la curva. Método: por haces proyectivos.
  3. Recta tangente a una parábola en un punto de la curva.
  4. Rectas tangentes a una parábola por un punto exterior.
  5. Rectas tangentes a una parábola paralelas a una dirección.

HIPÉRBOLA

  1. Construcción de la hipérbola. Método: por puntos.
  2. Recta tangente a una hipérbola en un punto de la curva. 
  3. Rectas tangentes a una hipérbola por un punto exterior.
  4. Rectas tangentes a una hipérbola paralelas a una dirección.

TANGENCIAS

RESUMEN TANGENCIAS

1. Propiedades

2. Métodos en la resolución de problemas de tangencias:

Rectas tangentes

  1. Rectas tangentes a una circunferencia paralela a una dirección dada.
  2. Rectas tangentes a una circunferencia por un punto exterior a ella.
  3. Rectas tangentes exteriores comunes a dos circunferencias. Resuelto por dilataciones. Resuelto por homotecia.
  4. Rectas tangentes interiores comunes a dos circunferencias.

Circunferencias tangentes de radio conocido

  1. Punto, recta: Circunferencias de radio conocido tangentes  a una recta en el punto T.
  2. Punto, recta: Circunferencias de radio conocido tangentes a una recta pasando por un punto exterior P.
  3. Recta, Recta: Circunferencias  de radio conocido tangentes a dos rectas que se cortan.
  4. Punto, circunferencia: Circunferencias  de radio conocido tangentes a una circunferencia en el punto T.
  5. Punto, circunferencia: Circunferencias de radio conocido tangentes a una circunferencia en un punto exterior P.
  6. Circunferencia, recta: Circunferencias de radio conocido tangentes a una circunferencia y a una recta.
  7. Circunferencia, circunferencia: Circunferencias de radio conocido tangentes exteriores a dos circunferencias.
  8. Circunferencia, circunferencia: Circunferencias  de radio conocido tangentes interiores a dos circunferencias.
  9. Circunferencia, circunferencia: Circunferencias de radio conocido tangentes interiores a una circunferencia y exteriores a otra circunferencia.

Circunferencias tangentes de radio desconocido

  1. Punto, punto, punto: Circunferencia que pasa por 3 puntos.
  2. Punto, punto, recta: Circunferencia tangente a una recta en un punto T pasando por otro exterior P.
  3. Punto, punto, recta: Circunferencias tangentes a una recta pasando por dos puntos exteriores P y Q.
  4. Punto, recta, recta: Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan conocido el punto T de tangencia en una de ellas.
  5. Punto, recta, recta: Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan pasando por el punto exterior P.  Resuelto por potencia. Resuelto por inversión
  6. Recta, recta, recta: Circunferencias tangentes a 3 rectas que se cortan.
  7. Punto, punto, circunferencia: Circunferencias tangentes a una circunferencia en el punto T pasando por un punto exterior 
  8. Punto, punto, circunferencia: Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos exteriores P y Q.
  9. Recta, recta, circunferencia: Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan y exteriores a una circunferencia.
  10. Recta, recta, circunferencia: Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan e interiores a una circunferencia.
  11. Punto, circunferencia, circunferencia: Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto T de tangencia en una de ellas.
  12. Punto, circunferencia, circunferencia: Circunferencias tangentes a dos circunferencias pasando por el punto exterior P. Soluciones: I,  II
  13. Punto, recta, circunferencia: Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta conocido el punto T de tangencia en la circunferencia.
  14. Punto, recta, circunferencia: Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta conocido el punto T de tangencia en la recta.
    1. Ejercicio resuelto por inversión.
  15. Punto, recta, circunferencia: Circunferencias tangentes exteriores a una circunferencia y a una recta pasando por un punto exterior P.
  16. Punto, recta, circunferencia: Circunferencias tangentes interiores a una circunferencia y a una recta pasando por un punto exterior P.
  17. Recta, circunferencia, circunferencia: Circunferencias tangentes a dos circunferencias y a una recta.Soluciones: I, II
  18. Circunferencia, circunferencia, circunferencia: Circunferencias tangentes a tres circunferencias:  Soluciones: I,  II,  III,   IV

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